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生活处处有数学!体育比赛中的数学!

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发表于 2017-10-9 21:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
一、体育比赛一般分为淘汰赛和循环赛
       1.淘汰赛
      【例1】18只球队进行淘汰赛,为了决出冠军,需要进行多少场比赛?
       解析:首先要了解,淘汰赛每两队只需要打一场比赛,所以 18 只球队要打 9+4+2+1+1=17 场比赛。我们也可以这么想,冠军只有一个,18支队伍要淘汰17支,所以要打17场比赛。
       所以,淘汰赛当中,n个队要决出冠军共需要比n-1场比赛

       2.循环赛
       单循环比赛指每两支球队都要打一场比赛。
      【例2】6支球队进行单循环比赛,每支球队要进行多少场比赛?共需要进行多少场比赛?
        解析:因为进行单循环比赛,所以每两支球队之间只进行一场比赛,A与B比赛之后,就不用考虑B与A的情况了,所以,单循环比赛中,每支球队进行n-1场比赛,共进行n(n-1)/2场比赛。
       每支球队要进行5场比赛,共需要进行15场比赛。
      双循环比赛指每两支球队都要打两场比赛。

      【例3】6支球队进行双循环赛,每支球队进行多少场比赛?共需要进行多少场比赛?
       解析:同学们想一想,和上面单循环比赛相比,这次的比赛场数发生了什么变化呢,每支球队都要和剩余5支球队进行一场比赛,每两支球队之间有两场比赛,所以在双循环比赛中,每支球队进行2(n-1)场比赛,一共要进行n×(n-1)场比赛。
       每支球队进行10场比赛,一共进行30场比赛。

      二、体育比赛中积分制度
       在3、1、0积分制度下,胜一局胜者得3分,负者不得分,平一局双方各得一分。这样对于每一场比赛,如果有胜负两队共积3分,如果平局两队共积2分。在2、1、0积分制度下,对每一局比赛,无论出现胜负还是平局,两队和都为2分。

      【例1】五个人进行象棋单循环比赛,现在规定胜者得2分,负者得0分,和棋双方各得1分,比赛结束后五个人的总分是多少?
        解析:在2-1-0积分制下,无论是胜负局还是平局,两队的总分一定是2分,5人进行单循环比赛,一共有5×4÷2=10场比赛,那么5队总分为2×10=20分。

      【例2】有五个球队进行比赛,每队必须与其余四个球队交手一次,一场比赛下来,每队若获胜可得3分,平局得1分,失败得0分,比赛结束后,各队得分情况如下:黄队得10分,红队得9分,绿队得4分,蓝队得3分,粉红队得1 分,请问比赛中有多少场平局?
        解析:在3-1-0比赛中,由于胜负局和平局的总分情况不一样,所以我们无法确定最后的总分是多少,但是我们可以得到一个范围,比赛都是胜负局时总分数最高,都是平局时总分数最低。
5队进行比赛,比赛总场数为5×4÷2=10场,若10场都是胜负局,所以总分为3×10=30分,但是现在各队总分为10+9+4+3+1=27,平一局少1分,所以一共有30-27=3场平局。

      【例3】五个足球队进行循环比赛,即每两个队之间都要赛一场.每场比赛胜者得2分、负者得0分、打平两队各得1分.比赛结果各队得分互不相同.已知: ⑴第1名的队没有平过;⑵第2名的队没有负过;⑶第4名的队没有胜过.问全部比赛共打平了________场。
       解析:因为第二名没有负过,所以第一名不可能全胜,又因为第一名没有平过,所以只能是第一名输第二名一场,又因为第一名没有平过,所以第一名得分只能为偶数,由此可知第一名三胜一负,6分;第二名一胜三平,5分;第三名一胜两平一负4分;第四名三平一负,3 分;第五名两平两负,2分;故一共平了5场。

      【例4】甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛,就是每两个队之间都要比一场,胜者得3分,负者得0分,平者各得1分.比赛结束后,甲队共得6分,乙队共得4分,丙队共得2分,那么丁队共得 分.
       解析:甲队得6分,只能是赢两场输一场;乙队得4分,只能是赢一场,输一场,平一场;丙队得2分,只能是平两场,输一场;四个队共6场比赛,平则2分,有输赢则共3分;2 场平,4场有胜负,共有:4×3+2×2=16(分),四队共16分,而甲乙丙的分数已经知道,所以丁队得分:16-6 - 4-2=4(分)。
       总结:体育比赛的解题步骤
       1、 确定比赛的队伍总数,比赛场次总数,得分总数。(3、1、0规则下) 当只有胜负局时,所有队得分总数为确定的,等于比赛场次数×3;当有平局出现,所有队总分不是确定的。但是总分有一个最大值和最小值,最大值=比赛场次×3,最小值=比赛场次×2,具体得分总数取决于平局的场数。平局一场,总分少1。
       2、 注意胜负局与平局的对应关系(任何比赛);所有队的胜局数=所有队的负局数;
所有队的平局数=比赛平局场次数×2,所以总平局数必须为偶数。

       三、关于体育比赛中的逻辑推理
       思路:充分挖掘场次、积分、胜负等信息,仔细分析、判断、推理辅助:1.点线图2.表格3假设法
      【例1】A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘,到现在为止,A已经赛4盘,B赛3盘,C赛2盘,D赛1盘,问此时E同学赛了几盘?
解析:利用点线图画出相互比赛间的关系,先画A,他赛了4盘,肯定与其他同学都赛了1 盘,然后可知D只与A赛了一盘。再看B,分析可知B与C,E各赛一盘,此时可知E赛了2 场。

      【例2】赵、钱、孙、李四人比赛乒乓球,每两人都要赛一场,结果赵胜了李,且赵钱孙三人胜场相同,问李胜了多少场?
解析:4人进行单循环比赛,总场数为3+2+1=6场。因为是乒乓球比赛,所以没有平局的情况。那么就应该有6个胜场。赵钱孙胜场相同,只有两种情况:
       1、他们各胜1场,李胜3场
       2、他们各胜2场,李胜0场
       通过点线图构造(箭头指向负者),分析可知他们不可能各胜1场,所以只能是他们三人各胜1场,李胜0场。也可推理: 李要胜3场,可李已经输给赵了。

      【例3】甲、乙、丙、丁四个人进行单循环赛,获胜得3 分,战平得1 分,失败得0 分。已知甲、乙、丙的得分分别为7、3、2 分,且乙没有平局,那么丁得了多少分?丁和乙的比赛结果是什么?
       解析:丙两场平局,不能与乙平,只能和甲、丁平,画出点线图可知,丁得4 分,丁胜了乙。

     【例4】1994 年世界杯, 甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组进行小组赛,每支队都要与另3支队比赛一场,根据规定: 每场比赛获胜的队可得3分,失败的队得0分,如果双方踢平,两队各得1分。 已知: (1) 这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数; (2)乙队总得分排在第一; (3) 丁队恰有两场同对方踢平,其中有一场是与丙队踢平的。请你推断: 总得分排在第四的是哪队?
       解析: 充分挖掘信息1、4队单循环,共比赛3+2+1=6场 2、3,1,0制度,总分在12-18 之间。3、4队的得分是 4个连续奇数,只能是1,3,5,7(3,5,7,9已经超过总分 18了)。那么乙是第一名,一定是 7 分。丁有2场踢平,那么第3场一定是胜者,要不然他的得分不会是奇数。那么丁是5分,是第二名。4、借助点线图挖掘胜负关系甲○ ○乙 ①乙与丁踢平,那么一定胜甲、丙,丙○ ○丁 ②丁不可能胜乙,一定是胜甲③丙与丁踢平,与乙踢负, 积分为 1,与甲只能踢负,才能保证得分是奇数。 答: 总分排在第四的是丙队。

     【例5】A、B、C、D、E五位同学参加乒乓球比赛,每两人都要比赛一盘,规定胜者得2分,负者不得分,已知比赛结果如下: (1)A与E并列第一名; (2)B是第三名; (3)C和D并列第四名。求B得多少分?
解析:5人单循环,总场数4+3+2+1=10场,乒乓球没有平局,那么就应该有10个胜场。 A 与E并列第一,那么他俩肯定各胜3场(如果一个人胜4场,那么别人不可能与其并列第一; 如果他俩各胜2场,才是平均水平,不可能拿第一)。 剩下的4场,要分给B、C、D, 由于B第三,C、D 并列第四,故只能是2/1/1。那么B胜2场,他的得分是2×2=4(分)

     【例6】四个足球队进行单循环比赛, 每两队都要赛一场,每场比赛获胜的队可得3分, 失败的队得0分,如果双方踢平,两队各得1分。比赛结果: 各队的总得分恰好是四个连续的自然数,问: 输给第一名的队的总分是多少?
解析:充分挖掘信息1、4队单循环,共比赛3+2+1=6场 2、3,1,0 制度,总分在12-18 之间。12表示都是平局,18表示都没有平局。3,4队的得分是4个连续自然数,可能是 2,3,4,5,可能是3,4,5,6(3,4,5,6不可能,因为4分意味着一定有平局,那么4队的总分不可能为18分)。4、根据4队的得分挖掘各队的胜负情况2分=1+1+0,平2负1,4分=3+1+0,胜 1平1负1, 5 分=3+1+1,胜1平2,3分=3+0+0,胜1负2 (若是这样,4队的总胜场是3 场,总负场是4场,矛盾,舍去) 3=1+1+1 平 3。5、借助点线图展示胜负关系2○○3;① 得分为3的队伍全是平局4○○5;②与得分是3的队踢平,还剩一胜一负, 只能负给第一名可见,输给第一名的队得4分。注意:一个小组内,胜的总场数等于负的总场数,平的总场数一定是偶数。


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